Question

已知抛物线L:y=ax2+bx+c(其中a,b,c都不等于0),它的顶点P的坐标是(-b/2a,(4ac-b2)/4a),与y轴的交点

交点是M（0，才）。我们称以M为顶点，对称轴是y轴且过点P的抛物线为抛物线L的伴随抛物线，直线PM为L的伴随直线。

1）请写出抛物线y=-2x2+4x+1的伴随抛物线和伴随直线的表达式。

详细，谢谢了

Answer 1

Answer 2

（1）写出抛物线y=2x^2-4x+1的伴随抛物线和伴随直线的解析式；
（2）若一条抛物线的伴随抛物线和伴随直线方程分别是y=-x^2-3，y=-x-3，求这条抛物线的方程；
（3）若抛物线l：y=ax^2+bx+c与x轴交于A(x1,0)、B(x2,0)两点，0<x1<x2，它的伴随抛物线与x轴交于C、D两点，且AB=CD．求出a,b,c应满足的条件．
解：
（1）伴随抛物线的解析式为：y=-2x^2+1 ，伴随直线的解析式为：y=-2x+1；
（2）所求抛物线的方程为y=x^2-2x-3；
（3）l的伴随抛物线方程为y=-ax^2+c．设C(x3,0)、D(x4,0)，根据韦达定理，x3+x4=0，x3x4=-c/a ，所以|CD|^2=(x4-x3)^2=(x3+x4)^2-4x3x4=4c/a．同理可得，|AB|^2=(x4-x3)^2=(b^2-4ac)/a^2 ．因为AB=CD，所以4c/a=(b^2-4ac)/a^2，即b^2-8ac=0，这就是a,b,c应满足的条件．此时，对称中心为(-b/(4a),0)，在x轴上．