Question

对a,b∈R，记max{a，b}={a a>b b a<b ,函数f(x)=max

说明理由

Answer 1

对a,b∈R，记max{a，b}={a,a>=b;b,a<b} 要加上一个等号，否则缺少a=b的情况

最大值函数的实质是：max(x,y)=(x+y+|x-y|)/2，显然此式与原分段函数一致。

所以f(x)=[|x+1|+|x-2|+|(|x+1|-|x-2|)]/2
|x+1|+|x-2|表示数轴上任意点x到-1或2两点的距离和
||x+1|-|x-2||表示数轴上任意点x到-1或2两点的距离差
明显可见：|x+1|+|x-2|>=3 且当-1<=x<=2时距离和为定值3
而距离差||x+1|-|x-2||>=0，当x=1/2时取最小值0，
而当x<-1或x>2时,两者都不可取得最小值。
所以f(x)只可能在x=1/2时，取最小值为(3+0)/2=3/2

由图像可知函数“居然”等价于：f(x)=(|2x-1|+3)/2 【如何证明还没想到】
f(x)>=3/2 , x=1/2时取得最小值3/2