Question

如图，△ABC中，AD⊥BC于D，∠B=2∠C． （1）求证：DC=BD+AB； （2）当点E是BC的中点时，求证：AB=2DE。

Answer 1

（1）延长CB到E，使得BE=AB,连结AE
则由于△ABE是等腰三角形，所以∠E=∠BAE=1AEC/2 ∠ABD = ∠C
在△AED和△ACD中，∠E=∠C，∠ADE=∠ADC=90°，AD为公共边
所以 △AED≌△ACD
所以 CD=ED=BD+BE=BD+AB
（2）证明：在三角形中有大角对大边，∵∠B＝2∠C ∴AC>AB
延长CB到P使CD＝DP，连接AP，又∵AD垂直于BC于D，∴AD是CP的垂直平分线，∴∠C＝∠APC，∵∠B＝2∠C＝∠APC＋∠BAP
∴∠APC＝∠BAP
∴AB＝BP
∵E为BC中点
∴CE＝EB=BD+DE
∵CD=PD即BP+BD=DE+CE
∴BP+BD=DE+BD+DE
∴BP=2DE
∴AB=2DE

Answer 2