Question

高一数学必修一简单题目求详细解答

已知定义在实数集上的函数y=f（x）满足条件：对于任意的x、y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）．
（1）求证：f（0）=0；
（2）试证明f（x）是奇函数，试举出两个这样的函数；
（3）若当x≥0时，f（x）＜0，
1）试判断函数f（x）在R上的单调性，并证明之；
2）判断函数|f（x）|=a．所有可能的解的个数，并求出对应的a的范围．

Answer 1

（1）f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)=2f(0) 所以，f(0)=0
（2）f(x+(-x))=f(0)=0=f(x)+f(-x) 所以，f(-x)=-f(x)且f(0)=0 是奇函数
举例，f(x)=x f(x)=x^3

（3）设m>n, m=n+d，则f(m)=f(n+d)=f(n)+f(d) 因为d>0，所以f(d)<0，即f(m)<f(n) 因此，是减函数
由f(x+y)=f(x)+f(y)可知，f(x)的值域为负无穷到正无穷。又因为单调递减，所以
若a>0，则f(x)=±a都有解，共两个解
若a=0，则f(x)=0，有一个解x=0
若a<0，则一个数的绝对值小于0，不成立，所以，无解