Question

第15题，要过程

Answer 1

∵ABCD是边长为16cm的正方形，E、F分别是AB、BC的中点，∴AE＝BF＝8cm。
显然有：DA＝AB、∠DAE＝∠ABF＝90°，又AE＝BF，∴△DAE≌△ABF，
∴DE＝AF＝√（DA^2＋AE^2）＝√（16^2＋8^2）＝8√（2^2＋1）＝8√5（cm）。

∵△DAE≌△ABF，∴∠AEM＝∠BFM，∴E、B、F、M共圆，又EB⊥BF，∴AM⊥DE，
∴AM×DE＝DA×AE，∴AM＝DA×AE/DE＝16×8/（8√5）＝（16/5）√5（cm）。

∵ABCD是边长为16cm的正方形，∴DA∥FB，∴FN/AN＝BF/DA＝8/16＝1/2，
∴FN/（FN＋AN）＝1/（1＋2），∴FN/AF＝1/3，∴FN＝（1/3）AF＝（8/3）√5cm。
∴MN＝AF－AM－FN＝8√5－（16/5）√5－（8/3）√5＝（32/15）√5（cm）。
∴MN/AM＝［（32/15）√5］/［（16/5）√5］＝2/3，
∴S(△DMN)/S(△DAM)＝MN/AM＝2/3，∴S(△DMN)＝（2/3）S(△DAM)。

∵AM⊥DE、DA⊥AE，∴由射影定理，有：DM×DE＝DA^2，
∴DM＝DA^2/DE＝16^2/（8√5）＝（32/5）√5（cm）。
∴S(△DAM)＝（1/2）DM×AM＝（1/2）×（32/5）√5×（16/5）√5＝16^2/5＝256/5（cm）^2。
∴S(△DMN)＝（2/3）S(△DAM)＝516/15（cm）^2。