Question

高一数学题求解答过程！！！

题目：已知函数f(x)=x+1/x，①判断并证明f(x)分别在x∈（0,1）和x∈（1，正无穷大）上的单调性；
②当x∈[½，a]时，f(x)∈[2，5/2]，求a的取值范围。
（第一问已求出，在x∈（0,1）上是减函数，在x∈（1，正无穷大）上是增函数，如有错误请指出）谢谢！！！

Answer 1

(1)f(x)在区间（0，1）上单调递减；在区间（1，﹢∞）上的单调递增
证明：
(1)设0＜x1＜x2＜1
∵f(x1)－f(x2)＝x1＋1/x1－x2－1/x2＝(x1－x2)＋(x2－x1)/(x1x2)＝(x1－x2)(x1x2－1)/(x1x2)
∵0＜x1＜x2＜1 ∴x1－x2＜0 0＜x1x2＜1 x1x2－1＜0
∴(x1－x2)(x1x2－1)/(x1x2)＞0 ∴f(x1)－f(x2)＞0 ∴f(x1)＞f(x2)
∴f(x)在区间（0，1）上单调递减
(2)设x2＞x1＞1
∵f(x1)－f(x2)＝x1＋1/x1－x2－1/x2＝(x1－x2)＋(x2－x1)/(x1x2)＝(x1－x2)(x1x2－1)/(x1x2)
∵x2＞x1＞1 ∴x1－x2＜0 x1x2＞1 x1x2－1＞0
∴(x1－x2)(x1x2－1)/(x1x2)＜0 ∴f(x1)－f(x2)＜0 ∴f(x1)＜f(x2)
∴f(x)在区间（1，﹢∞）上的单调递增
(2)因为当x∈[½，a]时，f(x)∈[2，5/2]，且f(x)在区间（1/2，1）上单调递减，在区间（1，﹢∞）上的单调递增
2≤f(a)≤5/2,即2≤a+1/a≤2，解得1≤a≤2

追问

额，，回答中的“2≤f(a)≤5/2,即2≤a+1/a≤2，解得1≤a≤2”是不是
应为2≤ a²+1/a ≤5/2 呢？

追答

f(a)=a+1/a,怎么变成 a² 呢？

追问

额，，a+ 1/a = a²/a + 1/a =a²+1 /a
假设是2≤ a+1/a ≤5/2 的话应该算出 2/3 ≤ a ≤ 1。。。。
2≤ a²+1/a ≤5/2算出1≤a≤2。。。

追答

我写的a+1/a就是(a²+1)/a
你的a²+1/a 应该这样写：a²+(1/a )

追问

Ok，懂了，多谢多谢！！！

追答

恩，懂了就好....，望采纳