Question

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Answer 1

(1)f(-x)+f(x)≤2|x|，带入化简得：
2x²≤2|x|
①当x≤0，即x²+x≤0，解得：-1≤x≤0
②当x＞0，即：x²-x≤0，解得：0≤x≤1
所以C=[-1，1]

（2）令m=a^x（m＞0），则f(a^x)-a^(x+1)=5整理为：
m²+（1-a）m-5=0，令g(m)=m²+（1-a）m-5
①0＜a＜1时，
在区间上[-1，1]，a≤a^x≤1/a
方程m²+(1-a)m-5=0有一根在区间[a，1/a]上有一根，必须满足：
g(a)≤0且g(1/a)≥0，
解得：0＜a≤1/2

②a＞1时，
在区间上[-1，1]，1/a≤a^x≤a
方程m²+（1-a）m-5=0有一根在区间[a，1/a]上有一根，必须满足：
g(1/a)≤0且g(a)≥0，
解得：a≥5
所以实数a的取值范围是(0，1/2]∪[5，+∞)
(3) f (x)=x2 +x=(x+1/2)2 -1/4,,在C上当且仅当x=-1/2时有最小值为-1/4，当x=1时有最大值为2，故A= {y|-1/4≤y≤2}
对于函数g(x)=x3-3tx+t/2,A是其值域的子集，也就是说对于x∈[0 1]时, g(x) ∈[-1/4 2]恒成立。即x3-3tx+t/2+1/4>=0和 x3-3tx+t/2-2<=0在x∈[0 1]上恒成立。令g(t)= x3-3tx+t/2+1/4=(1/2-3x)t+x3 +1/4,为关于t的一次函数，由于一次函数的单调性，其最值只有可能在x=0和1时取得，此时极值为1/2t+1/4和5/4-5/2t,则1/2t+1/4>=0， 5/4-5/2t>=0，联立方程得t∈[-1/2 1/2],同理，求得另一组不等式的解为t∈[-2/5 4]，综合得出t的取值范围为t∈[-2/5 1/2]