Question

函数f(x)=(x2+x+1)/(x2+1)的值域为

Answer 1

解由f(x)=(x2+x+1)/(x2+1)
=(x2+1+x)/(x2+1)
=1+x/(x2+1)
当x=0时，f（0)=1+0=1
当x＞0时，由f(x)=1+x/(x2+1)
=1+1/(x+1/x)
由x+1/x≥2√x*1/x=2
即0＜1/（x+1/x）≤1/2
即1＜1+1/（x+1/x）≤3/2
即1＜f（x）≤3/2
当x＜0时，由f(x)=1+x/(x2+1)
=1+1/(x+1/x)
由x+1/x=-[(-x)+(-1/x)]≤-2√（-x）*（-1/x）=-2
即-1/2≤1/（x+1/x）＜0
即1/2≤1+1/（x+1/x）＜1
即1/2≤f（x）＜1
故综上知1/2≤f（x）≤3/2
即函数的值域为[1/2,3/2]。

Answer 2

f(x)=(x²+x+1)/(x²+1)
=1+x/(x²+1)
=1+1/(x+1/x)
∵x＞0时，x+1/x≥2√(x*1/x)=2
x＜0时，x+1/x=-[(-x)+1/(-x)]≤-2√(-x)*1/(-x)=-2
∴1/(x+1/x)∈[-1/2,0)∪(0,1/2]
∴f(x)∈[1/2,1)∪(1,3/2]

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