Question

设函数fx=x-xlnx数列{an}满足0<a1<1,an+1=f(an)设数列{an}的前n项和sn,前n项积Tn,求证lnTn<Sn-n

Answer 1

这种东西一看就是Sn和Tn都求不出来的情形。既然求不出来，你还要研究它们的规律，肯定想到数学归纳法。

第一步：证明n = 1情形
代入n = 1，有：

a1 + 1 = f(a1) = a1 - a1lna1
即a1lna1 = -1
现在再看要证的表达式：

而T1 = S1 = a1
所以lnT1 - S1 = lna1 - a1
【接下来乘以一个a1，以充分利用刚才得到的表达式】

则a1(lnT1 - S1) = a1lna1 - (a1)^2 = -1 - (a1^2) < -1 < -a1
而由于a1 > 0，上式两边同时除以a1，得到lnT1 - S1 < -1
也就是lnT1 < S1 - 1
【这样子第一步就证完了，看来第一步还是小有技巧的，给这个题目难度系数可以打个中等分数】

第二步：证明n = k+1情形，此时k取一切正整数
此时，我们已有lnTk < Sk - k的结论了，现在讨论n = k+1情形
Tk+1 = Tkak+1
则lnTk+1 = lnTk + lnak+1 < Sk - k + lnak+1

Sk+1 = Sk + ak+1
强行把Sk+1代入上边的不等式，有：
lnTk+1 < (Sk+1 - ak - 1) - k + lnak+1
把它整理成要证明的式子，就是：
lnTk+1 < Sk+1 - (k + 1) + lnak+1 - ak
此时发现，相比于要证明的式子，右边多了一项lnak+1 - ak，只需证明这一项小于零就好了
【现在发现证明难点了：要证的lnak+1 - ak < 0竟然跨了两项，但是从题目所给条件来看，所有条件都没有给出递推关系，所以现在就要考虑这题不用递推也要把它证掉，现在关键问题就是找到lnak+1和ak到底有多大，即证明任何一项an和lnan一般性大小的问题】
现在分析an + 1 = f(an)
则an + 1 = an - anlnan，为了说明简便，不妨即y = an，即y + 1 = y - ylny
也就是ylny = -1。换句话说，数列{an}的所有项就是ylny = -1的所有根。不妨来分析一下这个方程。定义g(y) = ylny。
【分析一个位置函数的方法就是分析单调性，从而找到极值。】
其定义域为y > 0。求个导：
g' = lny + 1，导函数在定义域内有唯一零点，这个零点不妨记作α，且α在(0, 1)之间。
所以g在(0, α)单调减，在(α, +∞)单调增，在y = α时g取到最小值αlnα，在y趋于无穷大的时候，g趋于无穷大；在y趋于0的时候，g趋于0。
【后一个结论本来要学过高等数学才能证出的。但是由于刚才证明过单调性了，所以g此时显然不可能趋于负无穷大，因而只能趋于0。】
另外，g(1) = 0。
所以，g的图像是个对勾形状的图像，在y -> 0和y = 1时过零点，在y = α时，g取到最小值αlnα。
那么g = -1的跟就是所有an的取值。从而看到，要么an = α，即an是个常数列；要么an = β1或β2，其中，β1在(0, α)区间，β2在(α, 1)区间。或者我们把两种情况合并，也就是an = β1或β2，其中，β1在(0, α]区间，β2在[α, 1)区间，若β1 = α，则必有β2 = α。
【现在我们就把{an}的情况研究清楚了，考虑到{an}竟然总过取值不超过2个，所以本题难度又下降了。】
说了那么多，回过头来，现在要证的问题就是lnγ1 - γ2 < 0，此处γ1和γ2可以任取β1和/或β2中的任意一个。
然后你发现了吗？这是多么显然的一个事实啊！由于β（即β1或β2）总是小于1，所以lnβ < 0，β > 0，则显然lnγ1 - γ2 < 0
也就是一定有lnak+1 - ak < 0
又因为
lnTk+1 < Sk+1 - (k + 1) + lnak+1 - ak
所以lnTk+1 < Sk+1 - (k + 1)
证毕

【最后会过头来看，我还把g的性质讨论的那么清楚，根本没必要啊！只要讨论出了g的单调性，只要讨论出了在y -> 0和y = 1时过零点，最小值α在哪里根本无关紧要啊！也就是有了这两个条件之后，已经知道g = -1的两个根β必然在(0, 1)之间，从而就可以知道lnγ1 - γ2 < 0，也就是lnak+1 - ak < 0了啊！从这点意义上来说，我高估了这个题的难度，竟然花了那么大的力气分析g性质。所以这个题目难度再次打折了。后边部分的分析都是顺理成章的，不需要思考的。】
【综上所述，题目的第一个难点在于你要能够从看到题目时候就能想到数学归纳法。第二个（小）难点在于由于a1是多少根本不知道，所以得拐着弯地证明a1那一步。第三个难点在于准确判断本题不能用递归性质做证明，因为题目根本没有递归条件。第四个难点在于构造一个函数从而给出{an}的完整性质。然后就没有难度了……】