Question

已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x－4）=－f（x），且区间[0，2]上是增函数，若方程f（

已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x－4）=－f（x），且区间[0，2]上是增函数，若方程f（x）=m（m＞0）在区间[－8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2+x3+x4=

Answer 1

奇函数f（x）在区间[0，2]上是增函数，所以f(x)≥0 （x∈[0 , 2]）
所以f（x）在区间[-2，0]上也是增函数，且f(x)≤0
即f（x）在区间[-2，2]上是增函数，
于是f（x）=m在区间[-2，2]上最多只有一个根，且在[0，2]上。

假设f（x）=m在区间[-2，2]上没有根，
①因为f(x)=-f(x-4)=f(4-x)，…………………………………………（1）
若x∈[-2 , 2]，则4-x∈[2 , 6]，所以f（x）=m在区间[2，6]上也没有根；
②f(x-4)=-f(x)，所以f(x-8)=-f(x-4)=f(x)……………………………（2）
若x∈[-2 , 2]，则x-8∈[-10 , -6]，所以f（x）=m在区间[-8，-6]上也没有根；
若x∈[2 , 6]，则x-8∈[-6 , -2]，所以f（x）=m在区间[-6，-2]上也没有根；
③f(x-8)=f(x)，令t=x-8，所以f(t)=f(t+8)…………………………（3）
若x∈[-2 , 2]，则x+8∈[6 , 10]，所以f（x）=m在区间[6，8]上也没有根。
于是f（x）=m在区间[-8，8]上没有根，矛盾。

所以f（x）=m在区间[-2，2]上只有一个根，且在[0，2]上，设为x1∈[-2 , 2]，则

①4-x1∈[2 , 6]，根据（1），f(x)=f(4-x)，
所以f（x）=m在区间[2，6]也只有一个根，设为x2，
则x2=4-x1，即x1+x2=4

②由于x1∈[0 , 2]，所以x1-8∈[-8 , -6]，根据（2），f(x-8)=f(x)
所以f（x）=m在区间[-8，-6]也只有一个根，设为x3，
则x3=x1-8

③x2∈[2 , 6]，所以x2-8∈[-6 , -2]，根据（2），f(x-8)=f(x)
所以f（x）=m在区间[-6，-4]也只有一个根，设为x4，
则x4=x2-8，所以x3+x4=（x1-8）+（x2-8）=x1+x2-16=-12

④f（x）=m在区间[-2，0]上没有根，根据（3），f(x)=f(x+8)
x∈[-2 ,0 ]，x+8∈[6 , 8]，所以f（x）=m在区间[6，8]上也没有根。

于是x1+x2+x3+x4=4-12=-8

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追问

若f（x）=（a－1）x^2+ax+3是偶函数，则f（x）的递增区间为（－∞，0）。 为什么0不能取到？？？

追答

0也可以取到，只不过包不包括0，没有什么影响，因为我们讨论的是区间上的增减性，一点是没有增减性的