已知x²-2xy+y²+x+y+1=0,求证:1/3≤y/x≤3
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x²-2xy+y²+x+y+1=0 （＃）
若x＝0，则y²＋y＋1＝0无解
∴x≠0
设y／x＝t，则y＝tx代入（＃）
∴x²－2tx²＋t²x²＋x＋tx＋1＝0
即（t－1）²x²＋（t＋1）x＋1＝0 ①
方程有实数解
当t－1＝0即t＝1时，
方程即2x＋1＝0，x＝－1／2有实数解
当t－1≠0时，
①为一元二次方程，有实数解的条件为
Δ＝（t＋1）²－4（t－1）²≥0
整理得：3t²－10t＋3≤0
解得：1／3≤t＜1或1＜t≤3
综上所述，1／3≤t≤3
即1/3≤y/x≤3
若x＝0，则y²＋y＋1＝0无解
∴x≠0
设y／x＝t，则y＝tx代入（＃）
∴x²－2tx²＋t²x²＋x＋tx＋1＝0
即（t－1）²x²＋（t＋1）x＋1＝0 ①
方程有实数解
当t－1＝0即t＝1时，
方程即2x＋1＝0，x＝－1／2有实数解
当t－1≠0时，
①为一元二次方程，有实数解的条件为
Δ＝（t＋1）²－4（t－1）²≥0
整理得：3t²－10t＋3≤0
解得：1／3≤t＜1或1＜t≤3
综上所述，1／3≤t≤3
即1/3≤y/x≤3
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