Question

设向量α=（a1,a2,a3……an）ai≠0证明：若A=α^tα则存在常数m,使得A^k=mA求可逆矩阵P 使P^-1AP为对角阵

另外 怎么求|λE-A| 就是这个的行列式 谢谢

Answer 1

为了记号简便, 用α'表示α的转置.
向量α可视为1×n矩阵, 而α'是n×1矩阵.
由矩阵乘法的结合律, 有A² = (α'α)(α'α) = α'(αα')α.
而α‘α是1×1矩阵, 也就是一个常数, 设b = αα'.
则A² = α'(αα')α = bα'α = bA.
由此不难得到, 对任意正整数k, 成立A^k = b^(k-1)·A.

由α ≠ 0, 有r(α) = 1, 故线性方程组αX = 0的基础解系有n-1个向量.
易见它们都满足AX = α'αX = 0, 即为A的属于特征值0的特征向量.
另一方面, Aα' = (α'α)α' = α'(αα') = bα', 故α'(≠ 0)为A的属于特征值b的特征向量.
且由b = a1²+a2²+...+an² ≠ 0, α'与属于特征值0的特征向量线性无关.
于是由αX = 0的基础解系和α'为列向量组成的矩阵P可逆, 并使得P^(-1)AP为对角阵.

根据上述结果, A的全部特征值为0 (n-1重)和b.
因此A的特征多项式|λE-A| = (λ-b)λ^(n-1).

追问

可是书上给的|λE-A| = λ^n-(λ^n-1)∑ai^2啊 我的思路是把它拆成多个行列式相加

λ a1

λ - λ

λ λ

追答

没错啊, b = ∑ai², 所以(λ-b)λ^(n-1) = λ^n-bλ^(n-1) = λ^n-λ^(n-1)∑ai².
拆成多个行列式相加应该也能做, 就是把各列的λ拆出来.
要点是如果有两列不含λ, 则这两列线性相关.
所以n-2次及以下的系数为0, 而n-1次系数直接用完全展开式就能看出来.