Question

正三棱锥s-abc的侧棱与底面边长相等都为a，E,F分别为sc,ab的中点，求直线EF和sa所成的

正三棱锥s-abc的侧棱与底面边长相等都为a，E,F分别为sc,ab的中点，求直线EF和sa所成的角

Answer 1

郭敦顒回答：

正三棱锥S—ABC的侧棱与底面边长相等都为a，令a=1，则，

AE=BE=（1/2）√3，

EF在平面ABE上，

EF=√（3/4－1/4）=（1/2）√2，

在平面ABE上作AP∥FE交BE的延长线于P，

则∠SAP为直线EF和SA所成的角，连PS，

AP=2FE=√2，

                                      

                                    P 

                     S

 

 

                      G

                            

                           E

        A       K

 

          F                   C

 

 

                B

 

取SB中点K，连EK，则在△SBC中，EK∥BC且EK=BC/2=1

又在△SBP中，EK∥PS且EK=PS/2，

∴PS=1，∴△SAP为等腰△，作SG⊥AP于G，则AG=AP/2=（1/2）√2

cos∠SAG=AG/AS=[（1/2）√2]/1=（1/2）√2

∴∠SAG=45°，∠SAG与∠SAP为同角，

∴直线EF和SA所成的角是45°。