Question

证明函数f（x）=x-x分之2在（0，+无穷）上为增函数。

Answer 1

设x1,x2∈(0,+∞)且x1<x2
那么f(x1)-f(x2)
=x1-2/x1-(x2-2/x2)
=(x1-x2)-2(1/x1-1/x2)
=(x1-x2)-2(x2-x1)/(x1x2)
=(x1-x2)[1+2/(x1x2)]
∵0<x1<x2
∴x1-x2<0,1+2/(x1x2)>0
∴(x1-x2)[1+2/(x1x2)]<0
即f（x1)<f(x2)
∴f(x)在（0，+无穷）上为增函数。

Answer 2

设x1，x2∈(0,+∞)且x1<x2
f(x1)-f(x2)=x1-x2+2/(x2)-2/(x1)
=x1-x2+2(x1-x2)/(x1x2)
=(x1-x2)[1+2/(x1x2)]
<0
所以f(x1)<f(x2)
f(x)为(0,+∞)上的增函数

Answer 3

任取X1,X2，且X1，X2∈（0，+∞）,x1＜x2.
则：f(x1)-f(x2)=x1-2/x1-(x2-2/x2)=x1-x2-(2/x1-2/x2)
∵0＜x1＜x2∴x1-x2＜0∴2/x1-2/x2＞0
∴f(x1)-f(x2)＜0
∴f(x1)＜f(x2)
则f(x)为增函数