Question

设函数f(x)连续，且f'(0)>0,此时为什么不可以确定存在δ>0，使得f(x)在(0,δ)内单调增加？

尽管由某函数一点导数不可以得出在该点存在某邻域使得该函数单调的结论，但是在定义域内连续可导的函数其导数也应该是连续的，那么由f'(0)>0，并根据函数的局部保号性可以得知存在δ>0，使得f'(x)>0在(0,δ)内成立，此时不就可以证明待推翻的结论了吗？这里到底是哪里出现了矛盾呢？

Answer 1

可导必然连续，但连续不一定可导，说“连续可导”是指该函数具有连续的导函数，而并非说该函数既连续又可导（这种情况只说可导就够了，连续是隐含的）。在函数连续可导下，导函数某处为正，可以导出函数在某处的邻域内单调。

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