Question

一道大学高数证明题，求详细解答

Answer 1

题目有误，应为：
设f(x)在[a,b]上连续，且f(a)=f(b)=0,f'(a)f'(b)>0,证明，至少存在一点c∈(a,b),使f(c)=0

证：不妨设f'(a)>0，且f'(b)>0
从而存在足够小的ξ1>0 (ξ1<c)、ξ2>0 (ξ2<c)
使得x∈[a,a+ξ1] 或 x∈[b-ξ2, b]时，有f'(x)>0
即 f(x)在[a,a+ξ1]、[b-ξ2, b]单调递增
∵f(a)=f(b)=0
∴f(a+ξ1)>0 f(b-ξ2)<0
∵f(x)在[a,b]上连续
∴f(x)在[a+ξ1,b-ξ2]上连续
∵f(a+ξ1)、f(b-ξ2)异号
∴至少存在一点c∈(a,b),使f(c)=0（零点存在定理）。

Answer 2