Question

如图△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，D是斜边BC的中点，E,F分别是AB，AC边上的点，且DE⊥DF

1，如图1，试说明BE²+CF²=EF²；
2，如图2，若AB=AC,BE=12,CF=5,求△DEF的面积

Answer 1

为了写的快点，我没有把过程说清楚，见谅。

过C点做垂直于AB的直线 延长ED交此线于O
在△BDE和△DCO中：
BD=CD
∠DCO=∠B
∠BED=∠COD
则△BDE≌△DCO(AAS）
∴BE=CO EF=OF
又∵CO平行于AB
∴∠OCA是90度
BE²+CF²=CO²+CF²=FO²=EF²

由（1）得：EF=FO=13

设AB=AC=x
则AE²+AF²=（x-12）²+（x-5）²=169
x（x-17）=0 x=17

连接AD
∵D是BC中点
∴按照第一个图来说 EF=FO=13
设AB=AC=x
则AE²+AF²=（x-12）²+（x-5）²=169
x（x-17）=0 x=17
连接AD
∵D是BC中点
∴△ABC等腰直角三角形
∴AD是角平分线(三线合一）
则∠DAF=45º=∠ADB
根据面积法（BC·AD/2=AB·AC/2)可证：BD=AD
在△BED和△ADF中：
∠DAF=∠ADB
BD=AD

BE=AF（忘了说了，算出AC=x=17后，AF=AC-FC=12=BE)
∴△BED≌△ADF
∴ED=EF
则△DEF等腰直角三角形
∵ED²+EF²=13²
∴2ED²=169
ED²=169/2=ED·DF
S△DEF=ED·DF/2=169/4

追问

能把第一问的图画出来吗？我有点不明白

追答

……好吧