Question

已知2f(x)-f(1/x)=x,x∈R且x≠0 (1)求函数f(x)的解析式 (2)求函数f(x

已知2f(x)-f(1/x)=x,x∈R且x≠0
(1)求函数f(x)的解析式
(2)求函数f(x)的值域

Answer 1

（1）定义域x∈R且x≠0
依题 2f(x)-f(1/x)=x ①
令x=1/x 得 2f(1/x)-f(x)=1/x ②
①*2+② 得 3f(x)=2x+1/x ③
故 f(x)=(2/3)x+1/(3x)
(2) Tip ：导数法求函数值域

追问

能否帮我把第二问也解了，谢谢

追答

可以，等一下

整理有 f(x)=(x^2+1)/(3x)
求导 f'(x)=(6*x^2-3*x^2-3) /(9*x^2)
=(3*x^2-3) /(9*x^2)
=[3*(x+1)*(x-1)] /(9*x^2)
所以函数f(x)
在区间（-无穷，-1），[1，+无穷）上单调递增
在区间 [-1，0),(0,1)上单调递减
f(-1)=-1 , f(1)=1
所以，函数f(x)的值域为（-无穷，-1]，[1，+无穷）