Question

证明n/a^n的极限是0,a>1

Answer 1

令函数f(x)=x/a^x，当x→+∞时，x和a^x都趋近于+∞，所以是∞/∞型，可以使用洛必达法则，即有：

limf(x)=limx/a^x=lim1/(a^x*lna)=1/∞=0 (x→+∞)。

而n/a^n是函数f(x)=x/a^x中特殊的一种情况(就是x只能取正整数)，但是趋势是一样的，所以a/a^n的极限也是0。

求极限基本方法有：

1、分式中，分子分母同除以最高次，化无穷大为无穷小计算，无穷小直接以0代入。

2、无穷大根式减去无穷大根式时，分子有理化。

3、运用洛必达法则，但是洛必达法则的运用条件是化成无穷大比无穷大，或无穷小比无穷小，分子分母还必须是连续可导函数。

Answer 2

Answer 3

令函数f(x)=x/a^x，当x→+∞时，x和a^x都趋近于+∞，所以是∞/∞型，可以使用洛必达法则，即有：
limf(x)=limx/a^x=lim1/(a^x*lna)=1/∞=0 (x→+∞)
而n/a^n是函数f(x)=x/a^x中特殊的一种情况(就是x只能取正整数)，但是趋势是一样的，所以a/a^n的极限也是0