Question

已知f(x)是R上的偶函数，且在(0，+∞)上单调递增，并且f(x)<0对一切x∈R成立，试判断－

已知f(x)是R上的偶函数，且在(0，+∞)上单调递增，并且f(x)<0对一切x∈R成立，试判断－1/f(x)在(－∞，0)上的单调性，并证明你的结论。

Answer 1

单调性：减函数
证明：∵f（x）在(0，+∞)上单调递增，f(x)是R上的偶函数

∴f（x）在(－∞，0)上单调递减

设x1，x2是(－∞，0)上的任意两个实数，且x1＜x2，则

g（f（x1）)-g(f（x2）)=－1/f(x1)－(－1/f(x2))=1/f(x2)－1/f(x1)=f(x1)－f(x2)/f(x1)f(x2)

∵f（x）在(－∞，0)上单调递减，x1＜x2
∴f（x1）＞f（x2）
∴f(x1)－f(x2)＞0
∵f(x)<0对一切x∈R成立

∴f（x2）＜f（x1）＜0
∴g（f（x1）)-g(f（x2）)＞0
∴g（f（x1）)＞g（f（x2）)
∴－1/f(x)在(－∞，0)为减函数