Question

已知函数fx=1/3 x³-2x²+3x （X∈R）的图像为曲线C。

已知函数fx=1/3 x³-2x²+3x （X∈R）的图像为曲线C。
1.若C上存在两点处的切线互相垂直，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标取值范围
2.是否存在一条直线与曲线C同时相切于两个不同点？若存在求出，不存在说明理由。

Answer 1

（1）f'(x)=x^2-4x+3，∴若两切线垂直，则斜率必都存在,设两切点为(x1,y1)(x2,y2)
即f'(x1)*f'(x2)=-1，由f'(x)的取值范围为[-1,+无穷),得到f'(x1)的取值范围为[-1,0)∪[1,+无穷)
(2)设两切点是(x1,y1)(x2,y2),则必有f'(x1)=f'(x2)，关于三次函数对称中心对称
所以x1+x2=4,且此时f(x1)+f(x2)=4/3,，所以此直线必过(2,2/3)
设为y=2/3+k(x-2),联立三次函数
得到1/3x^3-2x^2+3x=2/3+k(x-2)
即(x-2)(x^2-4x+1-3k)=0
且满足切线斜率与直线等所以，f'(x)=k,即x^2-4x+3=k
对照得到,1-3k=3-k,所以k=-1
于是x1=x2=2矛盾，所以不存在这样的直线