Question

如图，已知在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=3根号2，经过这个三角形重心的直线DE‖BC，分

如图，已知在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=3根号2，经过这个三角形重心的直线DE‖BC，分别交边AB、AC于点D和点E，P是线段DE上的一个动点，过点P分别作PM⊥BC，PF⊥AB，PG⊥AC，垂足分别为点M、F、G。设BM＝X，四边形AFPG的面积为y。
（1）求PM的长
（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域
（3）连接MF，MG，当△PMF与PMG相似时，求BM的长
(证明过程）

Answer 1

①PM＝⅓BC的中线（也是中垂线）＝⅓sin45º3√2＝1(勾股定理也可求得）。
②∵BC＝6（勾股定理），
DE＝4（等腰直角△ADE∽等腰直角△ABC，对应线段比等于相似比），
DP＝x⅔, EP＝4－x⅔；则FP＝DPsin45º＝x√2／3，GP＝EPsin45º＝2√2－x√2／3;
∴矩形（或正方形）AFPG面积：y＝FP·GP＝4x／3－2x²／9；
定义域：0＜x＜12(满足12x＞x²)。
③∵△PMF∽△PMG，相似比为1（有公共边PM），
故FP＝GP，P为DE中点，则M也为BC中点；
∴BM＝3。