Question

已知函数fx=x^2+|x+a|+1（a属于R) 1.试研究fx的奇偶性：2.若a小于等于1/2,大于等于-1/2 ，求fx的最小值

要详细过程，谢了

Answer 1

f(x)=x^2+|x+a|+1 >0
f(-x)=x^2+|-x+a|+1 >0
同为正，两者为相反数是不可能的，即不为奇函数
|x+a|=|-x+a|=|x-a|,
所以a=0时，f(x)=f(-x)，为偶函数；当a≠0时，则为非奇非偶函数

f(x)=x^2+|x+a|+1， |a|<=1/2
函数图像左右平移，最小值不变：
令y=f(x-a)=(x-a)^2+|x|+1=x^2-2ax+|x|+a²+1
分段：x>=0时 y=x^2-(2a-1)x+a²+1
x<0时 y=x^2-(2a+1)x+a²+1
在各的区间里求出最小值，二次函数对称轴处的取值。
但必有其中一个不在所在分段中，根据 |a|<=1/2讨论一下。