Question

已知二次函数fx的最小值为1 且f0=f2=3

若y=fx的图像恒在y=2x+2m+1的图像上方 试确定实数m的取值范围

Answer 1

∵f(0)=f(2)
∴对称轴是x=(0+2)/2=1,最小值是1,
∴可设顶点式y=a(x-1)²+1（a＞0)
x=0时，y=a+1=3,a=2
∴y=2(x-1)²+1=2x²-4x+3
∵y=fx的图像恒在y=2x+2m+1的图像上方
设g(x)=2x²-4x+3-(2x+2m+1)=2x²-6x-2m+2
∴g(x)min＞0
∴△=6²-4×2×(-2m+2)=16m+20＜0
∴m＜-5/4

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Answer 2

解：由f(0)=f(2)=3
所以设二次函数f(x)=ax（x-2)+3
f(x)的最小值为1,可得a=2
y=fx的图像恒在y=2x+2m+1的图像上方
即f(x)-2x-2m-1＞0
2x²-6x-2m+2＞0
由△=36+8(2m+2)＞0
得m＞-27/8

Answer 3

f0=f2=3，表明对称轴x=(0+2)/2=1
fx的最小值为1
所以可设f(x)=a(x-1)^2+1
代入f(0)=3,得：3=a+1,得：a=2
所以f(x)=2(x-1)^2+1=2x^2-4x+3