Question

已知函数fx是定义在【-1,1】上的奇函数，当x∈（0,1）时，fx=2ˆx/（4ˆx +1)，且f（-1）=f（1）

1）求fx在【-1,1】上的解析式
2）求证，当x∈（0,1）时。fx＜二分之一

Answer 1

1）fx是定义在[-1,1]上的奇函数，x∈（0,1）时，f(x)=2ˆx/（4ˆx +1)，
x<0时-x>0,f(x)=-f(-x)=-2^(-x)/[4^(-x)+1]=-2^x/(1+4^x),
f（-1）=-f(1)=f（1),
∴f(1)=0=f(-1)=f(0).
f(x)={2ˆx/（4ˆx +1)，0<x<1;
{-2ˆx/（4ˆx +1)，-1<x<0,
{0,x=0,土1.
2）f(x)=2ˆx/（4ˆx +1)<1/2,
<==>2*2^x<4^x+1,
<==>(2^x-1)^2>0,
x∈（0,1）时，2^x>1,上式成立，命题成立.