Question

如图,已知在三角形ABC中,角A=90°,AB=AC=3根号2

如图，已知在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=3根号2，经过这个三角形重心的直线DE‖BC，分别交边AB、AC于点D和点E，P是线段DE上的一个动点，过点P分别作PM⊥BC，PF⊥AB，PG⊥AC，垂足分别为点M、F、G。设BM＝X，四边形AFPG的面积为y。（1）求PM的长（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域（3）连接MF，MG，当△PMF与PMG相似时，求BM的长
求详细过程，不要用正弦，还没学。

Answer 1

（1）过点A作AN⊥BC于点N，交DE于点H，则点H为△ABC的重心，

由题意得△ABC是等腰直角三角形，

故AN=二分之一BC=3，

由重心的性质可得：AH/HN=2，

∴DE/BC=AH/AN=2/3，

故HN=1/3 ，AN=1，DE=4，

即可得PM的长为1

（2）过点D作DI⊥BC于I，过点E作EK⊥BC于点K，

则BI=DI=PM=1，
设BM=x，则IM=DP=x-1，PE=4-DP=5-x，
易得△FDP、△GPE均为等腰直角三角形，

∴PF=x−1/根号2 PG=5−x/根号2，

则y=PF×PG=x−1/（根号2）×（5−x）/根号2=1/2（x-1）（5-x）=（−x2+6x−5）  /   2    ，

由图形可得点M处于I-K之间，故可得：1＜x＜5．
综上可得y=（−x2+6x−5 ）/2  （1＜x＜5）．

（3）①当△PMF≌△PMG时，此时点P与点H重合，BM=BN=3；

②当△PMF∽△PGM时，

PF/PM =PM/PG，即（x−1）/（ 根号2）/1=1/（5−x）/2 ，

整理得：x−1/根号2=根号2/5−x ，

解得x=3±根号2    ．

综上可得当△PMF与△PMG相似时，求BM的长为3，3±根号2    

【sorry啊，我没有公式编辑器，所以码的乱了点，希望你能看懂，你也可以看下菁优网http://www.jyeoo.com/math/ques/detail/e0e03dd2-81ed-4a75-8b46-8140bdc19df8的解析，比我写的清楚，，好吧最起码人家能看得懂，，，绝对安全网址，伦家素好孩纸的说】

Answer 2

1. PM=1/3*3根号2/根号2=1 

2. BC=6 DE=2/3*BC=4

   DP=X-BD/根号2=X-1   PF=DP/根号2=(X-1)/根号2

   PG=(DE-DP)/根号2=(5-X)/根号2

   y=PG* PF=(X-1)(5-X)/2

3. PF=PG时两个三角形相似

此时M位于BC中点

BM=3