Question

1.已知函数f（x）=1+x-x²/2+x³/3-……+x^2013/2013,

g(x)=1-x+x²/2-x³/3+……-x^2013/2013，设函数F（x）=f（x+3）*g（x-4）,且函数F（x）的零点均在区间[a,b](a<b,a,b∈Z)内，则b-a的最小值为？

Answer 1

g(x)=1-x+x²/2-x³/3+……-x^2013/2013
f(x)+3=0或g(x)-3=0
h(x)=f(x)+3=4+x-x²/2+x³/3-……+x^2013/2013
h'(x)=1-x+x^2-...........+x^2012
x=-1时，h'(1)=2013>0
-x≠1时，h'(x)=1-x+x^2-...........+x^2012=(-x)^2013-1]/[(-x)-1]=(x^2013+1)/(x+1)
x>-1,h'(x)=(x^2013+1)/(x+1)>0
x<-1,h'(x)=(x^2013+1)/(x+1)>0
∴h'(x)>0恒成立，h(x)为增函数
h(0)=4
h(-1)=3+1-1-1/2-1/3-1/4-....-1/2013
=3-(1/2+1/3+1/4+.....+1/2013)
∵1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+.....+1/2013
>1+9/20+15/56+19/45+1/20+...... +1/20+1/30+.........+1/30 +1/40+.........+1/40+.....+1/2013
>3
∴h(-1)<0
∴f(x)+3=0只有1个实数解属于（-1,0）
i(x)=g(x)-3
∴同理 i'(x)=-1+x-x^2+........-x^2012 <0
i(x)为减函数
i(0)=-2<0
i(-1)=-3+(1+1+1/2+1/3+...........+1/2013)>0
∴g(x)-3=0只有1个解属于（-1,0）
∴F（x）=0的实数跟均在区间(-1,0)内
∴b-a最小值为1

望采纳！祝学习进步！！！！！

追问

是错的 请仔细看题目 A.8 B.9 C.10 D.11

Answer 2

解：∵f（x）=1+x﹣ + ﹣ +…+ ，

∴f′（x）=（1﹣x）+（x²﹣x³）+…+x²⁰¹²

=（1﹣x）（1+x²+x⁴+…+x²⁰¹⁰）+x²⁰¹²

当x=﹣1时，f′（x）=2×1006+1=2013＞0，

当x≠﹣1时，f′（x）=（1﹣x）（1+x²+x⁴+…+x²⁰¹⁰）+x²⁰¹²

=（1﹣x）• +x²⁰¹²

= ＞0，

∴f（x）=1+x﹣ + ﹣ +…+ 在R上单调递增；

又f（0）=1，

f（﹣1）=﹣ ﹣ ﹣ ﹣…﹣ ＜0，

∴f（x）=1+x﹣ + ﹣ +…+ 在（﹣1，0）上有唯一零点，

由﹣1＜x+3＜0得：﹣4＜x＜﹣3，

∴f（x+3）在（﹣4，﹣3）上有唯一零点．

∵g（x）=1﹣x+ ﹣ + ﹣…﹣ ，

∴g′（x）=（﹣1+x）+（﹣x²+x³）+…﹣x²⁰¹²

=﹣[（1﹣x）+（x²﹣x³）+…+x²⁰¹²]

=﹣f′（x）＜0，

∴g（x）在R上单调递减；

又g（1）=（ ﹣ ）+（ ﹣ ）+…+（ ﹣ ）＞0，

g（2）=﹣1+（ ﹣ ）+（ ﹣ ）+…+（ ﹣ ），

∵n≥2时， ﹣ = ＜0，

∴g（2）＜0．

∴g（x）在（1，2）上有唯一零点，

由1＜x﹣4＜2得：5＜x＜6，

∴g（x﹣4）在（5，6）上有唯一零点．

∵函数F（x）=f（x+3）•g（x﹣4），

∴F（x）的零点即为f（x+3）和g（x﹣4）的零点．

∴F（x）的零点区间为（﹣4，﹣3）∪（5，6）．

又b，a∈Z，

∴（b﹣a）_min=6﹣（﹣4）=10．

故选C．