Question

如图，在⊙O中，弦AB与CD相交于点E,且AB=CD.求证AE=CE

Answer 1

非直径的弦AB、CD相交于点E,如图(1)结论成立[如无图可加AC∥BD]；
如图(2)则结论不成立。
如图(1)证明：连BD
∵AB＝CD
∴劣弧AB＝劣弧CD
则有弧AD=弧BC
∴  ∠ABD=∠CDB   
∴EB=ED
∴AB-EB=CD-ED
即AE=EC

Answer 2

连接BD，因为AB=CD 所以 弧AB=弧CD 所以 弧BC=弧AD 角BDC=角ABD AB=CD BD=BD
所以 三角形BDC全等于三角形ABD 可知BC=AD 角BCE=角ADE 又根据对顶角相等 可知
角CEB=角AED 所以 三角形CEB全等于三角形AED 所以 AE=CE
E