Question

已知函数fx=a(x^2+1)+lnx <1>.讨论函数fx的单调性 <2>.若对任意a属于(-4

已知函数fx=a(x^2+1)+lnx
<1>.讨论函数fx的单调性
<2>.若对任意a属于(-4，-2)及x属于[1，3]，恒有ma-fx>a^2成立，求实数m的取值范围

Answer 1

对f(x)求导，f‘(x)=2ax+1/x
再根据
1.a=0
f'(x)=1/x>0
故f(x)在全域单增
2.a>0
f'(x)>0
故f(x)在全域单增
3.-1<a<0
令f'(x)=0
则x=根号下(-(a+1)/2a)
列表
x (0,根号下(-(a+1)/2a) 根号下(-(a+1)/2a) (根号下(-(a+1)/2a),+∞)
f'(x) + 0 -
f(x) ↗ 极大值 ↘
故f(x)在(0,根号下(-(a+1)/2a)上单增，在(根号下(-(a+1)/2a),+∞)上单减
4.a≤-1
f'(x)≤0
故f(x)在全域单减
综上a≥0时，f(x)域上单增
-1<a<0时，f(x)在(0,根号下(-(a+1)/2a)上单增，在(根号下(-(a+1)/2a),+∞)上单减
a≤-1时，f(x)在全域单减