Question

已知a方+b方+c方=ab+bc+ca求证a=b=c

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Answer 1

证明:因为a^2＋b^2＋c^2=ab＋bc＋ca,所以2(a^2＋b^2＋c^2)=2(ab＋bc＋ca),2a^2＋2b^2＋2c^2=2ab＋2bc＋2ca,移项得a^2-2ab＋b^2＋b^2-2bc＋c^2＋a^2-2ca＋c^2=0,所以(a-b)^2＋(b-c)^2＋(c-a)^2=0,所以a-b=0,b-c=0,c=a=0,所以a=b,b=c,c=a,所以a=b=c

Answer 2

等价于证明 y=a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac 为0的解为三个相同的数字。因为y是个连续函数，所以分别对a，b，c求偏导数即可。
对a求偏导数：2a-b-c=0
对b求偏导数：2b-a-c=0
对c求偏导数：2c-a-b=0
三个联立就解出来a=b=c了

Answer 3

2a方＋2b方＋2c方＝2ab+2bc+2ca> a方+a方+b方+b方+c方+c方-2ac-2bc-2ca=0>(a-c)方(b-c)方(c-a)方=0>a-c=0,b-c=0,c-a=0>a=c,b=c,c=a>a=b=c>三角形ABC是等边三角形

Answer 4