Question

求1+2+2的2次方+2的3次方+...+2的2012次方的值，可令s=1+2+2的2次方+2的3次方+...+2的2012次方，

则2s=2+2的2次方+2的3次方+2的4次方+...+2的2013次方，因此2s-s=2的2013次方-1.仿照以上推理，计算1+5+5的2次方+5的3次方+...+5的2012次方的值

Answer 1

【分析】：分析观察发现，上式从第二项起，每一项都是它前面一项的5倍．如果将和式各项都乘以5，所得新和式中除个别项外，其余与原和式中的项相同，于是两式相减易于计算．
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【解题】：
令S=1+5+5²+5³+...+5^2012..............................①
则5S=5+5²+5³+5^4+…+5^2013..............................②
由②-①得，
4S=-1+(5²-5²)+(5³-5³)+(5^4-5^4)+...+(5^2013-5^2013)+5^2014=5^2013-1
故S=(5^2013-1)/4
故答案为：(5^2013-1)/4.
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【归纳】：本题考查了有理数的乘方．如果一列数，从第二项起每一项与前一项之比都相等(本例中是都等于5)，那么这列数的求和问题，均可用上述“错位相减”法来解决．
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