Question

若二次函数y=ax^2+bx+c的图像经过点A(1,-3),定点为M,且方程ax^2+bx+c=12的两根为6,-2. (1)求该抛物线的解

若二次函数y=ax^2+bx+c的图像经过点A(1,-3),定点为M,且方程ax^2+bx+c=12的两根为6,-2. (1)求该抛物线的解析式 （2）试判断抛物线上是否存在一点P，使∠POM=90°。若不存在，说明理由：若存在，求出点P的坐标 （3）试判断抛物线上是否存在一点K，使∠OMK=90°，说明理由。（点O为坐标原点）

Answer 1

解：(1) 因为函数过点（1.-3），则有a+b+c=-3 ，而方程ax^2+bx+c=12的两根为6,-2，则有36a+6b+c=12，4a-2b+c=12，联立上述三式得a=1 b=-4 c=0. 故该抛物线的解析式为y=x^2-4x

追问

2，3问呢

追答

（2）直线OM的方程为y=-2x,若OP⊥OM，则OP的方程为y=½x;
直线y=½x与抛物线 y=x^2-4x有两个交点（一个点O，还有另一个P），
∴存在一点P，使∠POM=90°。
（3）设存在一点K，则MK∥OP,可MK的方程为y=½x-5,该直线与抛物
线 y=x^2-4x也有两个交点；∴存在一点K，使∠OMK=90°。

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