Question

已知f(x)是定义在R上的单调函数，对任意实数m,n都有:f(m+n)=f(m)Xf(n),且x>

已知f(x)是定义在R上的单调函数，对任意实数m,n都有:f(m+n)=f(m)Xf(n),且x>0时,0<f(x)<1
(1)证明f(0)=1;(2)证明当x<0时,f(x)>1

Answer 1

【1】
以m=0、n=1/2代入，得：
f(1/2)=f(0)f(1/2)
因为：0<f(1/2)<1，则：f(0)=1
当x>0时，有0<f(x)<1，以m=－x、n=x(其中x>0)代入，得：
f(0)=f(x)f(－x)，即：返信
f(x)f(－x)=1
因为0<f(x)<1，则：f(－x)>1，其中－x<0，则：
当x<0时，f(x)>1

【2】
f(4)=1/16，f(2＋2)=f(2)f(2)，得：f(2)=1/4，
由于函数f(x)是单调函数如咐，且f(2)>f(4)，则函数f(x)是单调递减函数。
则：
f(x²－1)f(a－2x)≤f(2)
f(x²－1＋a－2x)≤f(2)
x²－渣世纯1＋a－2x≥2
x²－2x＋1≥4－a
(x－1)²≥4－a
则：4－a≤0
则：a≥4