Question

一道高二数列

在数列{an}中，若对任意n∈N*，都有(an+2-an+1)/(an+1-an)=k（k为常数），则称{an}为“等差比数列”，下面对“等差比数列”的判断：
1）若数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2（an-1),求{an}的通项公式，并判断数列{an}是否为等差比数列
2）若数列{an}为等差数列，试判断{an}是否一定是等差比数列，并说明理由
3）是写出一个等差比数列的通项公式，是此数列既不是等差数列，又不是等比数列

Answer 1

（1）
Sn=2an-2，S（n+1）=2a（n+1）-2.
两式相减，得a（n+1）=2a（n+1）-2an。
整理得a（n+1）=2an，由原式解得a1=2。
故数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列。
从而an=a1×qⁿ⁻¹=2ⁿ。

（a（n+2）-a（n+1））/（a（n+1）-an）=2.
综上，数列{an}的通项公式为an=2ⁿ，且{an}是差等比数列。

（2）
若{an}是等差数列，不妨设an=a1+（n-1）d。
故（a（n+2）-a（n+1））/（a（n+1）-an）=d/d=1.
综上，{an}一定是差等比数列。

（3）
令an=2ⁿ+1，其既不等差也不等比。
（a（n+2）-a（n+1））/（a（n+1）-an）=2.
故an也为差等比数列。