Question

一道曲线积分题目求解

这道题为什么∮xyds=0
我的解答过程为
∮（x-y)²ds=∮x²-2xy+y²ds ①
由空间平面 x+y+z=0有 （x+y)²=z² 进一步 有 -2xy=x²+y²-z²
带入①中 有 ∮（x-y)²ds=∮2x²+2y²-z²ds=∮2（x²+y²+z²）-3z²ds
又因为 x²+y²+z²=1 所以∮2（x²+y²+z²）-3z²ds=∮2ds - 3∮z²ds=4π - 3∮z²ds
由轮换对称性有 ∮x²ds=∮y²ds=∮z²ds
所以3∮z²ds=∮x²+y²+z²ds=2π 所以 ∮（x-y)²ds=4π-2π=2π
请大家告诉我 我的算法哪里错了 应该改成什么

Answer 1

因为f(x,y)=xy是奇函数,积分区间对称，所以为0.
你用的既不是参数表示，又不是套用公式，搞混了。

追问

大哥 是空间曲面积分 三维的。。。。

Answer 2

应该是不能用轮换对称性吧，当初我们做的时候好像都没用什么轮换对称性。用别的方法求，这种题目不一定只有一种解法。

追问

那你可以把你的解答步骤打出来吗