Question

如图，BC为圆O的直径，垂足为D。弧AB=弧AF，BF和AD相交于E。试猜想AE于BE的长度关系，

如图，BC为圆O的直径，垂足为D。弧AB=弧AF，BF和AD相交于E。试猜想AE于BE的长度关系，并说明理由

Answer 1

AE=BE

证明：连接AF，OF ，AO交BF于G点（红线为辅助线）

 弧AB=弧AF  故AB=AF 

  AB=AF AO=AO BO=FO                 三角形AOB全等于三角形AOF 

故 角OAB=角OAF AB=AF AG=AG      三角形ABG全等于三角形AFG

BG=FG  而三角形ABF为等腰三角形   故 角AGB=角AGF=90度

 角AGB=角ADB=90度 AB=AB  角ABD=角BAO（三角形ABO为等腰三角形）

  故三角形ABD全等于三角形ABG   AG=BD

角AEG=角BED  角AGE=角ADB=90度 AG=BD  所以三角形AGE全等于三角形BDE

所以AE=BE 

 

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Answer 2

AB²=BE*BF.
证明:连接AB,AF,AC.
BC为直径,则:∠BAC=∠ADC=90°,∠C=∠BAD(均为角CAD的余角)
弧AB=弧AF,则∠F=∠C=∠BAD;又∠ABE=∠FBA.
故⊿ABE∽⊿FBA,AB/BE=BF/AB,AB²=BE*BF.

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