Question

线性代数求教，急！

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小弟真心不会...求指点。最好能说说每道题用的哪部分知识

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Answer 1

1.6 这个题我觉得是跟矩阵范数的计算有点关系。我不知道你的教材里的那个下角标是F的那个范数是怎么定义的。另外一开始if的后面0=s是怎么回事？是不是0不等于s？

1.8 查了一会Wikipedia，大概明白了一点。用d表示增量，比如dx表示delta x，只是为了输入方便而已。取一个多项式f。那么那个relative condition number就是，|(df / f) / (dx / x)| 在dx趋于0的上极限，也就是
|(df / dx) / (f / x)|的上极限。
要让这个上极限等于无穷，就是要让 |f'(x) / ( f(x) / x)| = |xf'(x) / f(x)| 等于无穷，随便一个有限次的多项式都不能满足这个条件，所以S_x是空集（不知道0多项式算不算，因为按这个定义没法算）。

假如是S_x (k) 的话 （我就用k了，希腊字母敲起来太麻烦），要让|xf'(x) / f(x)| >=k就行了，这个式子只需要在给定的那个点x成立，这就等于说xf'(x)>kf(x)或者<-kf(x)，这两个不等式成立一个就行。而这两个不等式，如果看成等式的话，那么是关于f的系数的一个一次方程（x是定下来的），它给出了R^(d+1)中的一个超平面（比如d=2，那就给出了R^3中的一个平面，比如x+y+z=1什么的），而不等式就给出了R^(d+1)中在这个超平面某一侧的部分(比如d=2，给出x+y+z>=1什么的)。两个这样的不等式，就给出两个这样的东西的并集。再注意一开始要求f(x)=0，这又是一个关于f的系数的一次方程，给出了R^(d+1)里的一个超平面，即a_0 = 0。那最后的这个东西，几何上就是刚才那个并集和 a_0 = 0 这个超平面的交集（一般应该会再降一维）。

这个问题，你把题目写成“数值代数”，可能会有合适的人给你回答。

1.10 也差不多是数值代数，这三个题差不多都是。这个题我做不动，不想查那些定义了。可以的话，修改一下你的问题的标题吧，改成跟数值代数或者类似的东西可能更好。

Answer 2

第六题用 ||A||_F^2 = tr(A^TA) 就行了

第八题你先把条件数的定义搞清楚
这里 cond = |xf'(x)|/|f(x)|
S_x就是以x为根的那些多项式的系数构成的, 满足一个条件
a_0+a_1x+...+a_dx^d=0
这是关于a_k的线性方程, 解空间就是S_x, 是一个d维超平面(当然, 这里假设了题目条件多项式要取遍所有次数不超过d的, 而不是恰好d次的, 否则就要罗嗦)
至于S_x(κ), 满足的条件是|xf'(x)|/|f(x)|>=κ, 取绝对值并没有楼上说的那样轻巧, 简单的处理手法是
[xf'(x)]^2>=κ^2[f(x)]^2
这是关于a_k的二次约束, 其解是介于某个二次锥面之间的那部分区域, 当κ->+oo时这片区域会压扁成一片超平面

第十题是最简单的, 也是最不应该问的
内积的舍入误差可以直接用归纳法证明
把AB的(i,j)元素写成A的第i行和B的第j列的内积形式, 直接代前面的结论就行了

你的基本功实在太差, 应该多花点心思看书, 如果Demmel的书不易懂的话可以同时看Golub和Van Loan的, Demmel的书习题部分有不少错误, 自己得有一定的修正能力. 另外, 想要搞懂数值代数必须做数值例子, 从你的理论功底来看如果不加倍努力的话想学好是没啥希望的.