Question

如图所示，在三角形ABC中AC=BC，

AC=BC，以AC为直径作圆O交AB于点E，作三角形BCA的外角平分线CF交圆O于点F连结EF求证EF=BC

Answer 1

AC=BC推出∠A=∠B
∠BCA外角∠DCA=∠A+∠B=2∠B
又∵∠DCA角平分线为CF,有∠DCF=1/2∠DCA=∠B 推出CF∥BE（同位角相等）
又∠F=∠A（同弧所对的圆周角相等）
∠F=∠A=1/2∠DCA=∠DCF 推出BC∥EF
两组对边平行推出四边形BCFE为平行四边形 从而EF=BC

Answer 2

因为CF平分角DCO，因此角FCO = ½角DOC
角DOC = 角A + 角B，因为AC=BC，所以角A = 角B => 角DOC = 2角A => 角FCO = 角A

因为OA=OC(半径)，角FCO=角A，角AOE=角FOC(对顶角)，因此△AOE ≅ △COF => OF = OE
因为OF=OC(半径)，因此 OE = OF = OA = OC
EF = OE+OF = OA+OC = AC
EF = AC = BC

Answer 3

过O作三角形ABC的中线交BC与G点，易得OG平行且等于CF,又EB平行OG,得证结果