求齐次线性方程组{X1+X2+3X3+2X4=0 2X1+3X2+X3-X4=0 5X1+6X2+10X3+5X4=0}的基础解系及通解
^A=
1 1 3 2
1 3 1 6
1 -5 10 -10
3 -1 15 -2a
r2-r1,r3-r1,r4-3r1
1 1 3 2
0 2 -2 4
0 -6 7 -12
0 -4 6 -2a-6
r3+3r2,r4+2r3,r3*(1/2),r1-r2
1 0 4 0
0 1 -1 2
0 0 1 0
0 0 8 -2a+2
-->
1 0 0 0
0 1 0 2
0 0 1 0
0 0 0 -2a+2
所以a=1时方程组有非零解，通解为c(0,-2,0,1)^T
扩展资料：
当r=n时，原方程组仅有零解；
当r<n时，有无穷多个解（从而有非零解）。
对齐次线性方程组的系数矩阵施行初等行变换化为阶梯型矩阵后，不全为零的行数r（即矩阵的秩）小于等于m（矩阵的行数），若m<n，则一定n>r,则其对应的阶梯型n-r个自由变元，这个n-r个自由变元可取任意取值，从而原方程组有非零解（无穷多个解）。
参考资料来源：百度百科-齐次线性方程组
基础解系为(-4,3,1,0)^T，(-5,4,0,1)^T，通解为k1(-4,3,1,0)^T+k2(-5,4,0,1)^T,k1,k2∈P。
对齐次线性方程组的系数矩阵施行初等行变换化为阶梯型矩阵后，不全为零的行数r（即矩阵的秩）小于等于m（矩阵的行数），若m<n，则一定n>r,则其对应的阶梯型n-r个自由变元，这个n-r个自由变元可取任意取值，从而原方程组有非零解（无穷多个解）。
求解步骤
1、对系数矩阵A进行初等行变换，将其化为行阶梯形矩阵；
2、若r(A)=r=n（未知量的个数），则原方程组仅有零解，即x=0，求解结束；
若r(A)=r<n（未知量的个数），则原方程组有非零解，进行以下步骤：
3、继续将系数矩阵A化为行最简形矩阵，并写出同解方程组；
4、选取合适的自由未知量，并取相应的基本向量组，代入同解方程组，得到原方程组的基础解系，进而写出通解。
