Question

这道高数题怎么做，求解析

Answer 1

解题思路：“同阶无穷小”的含义是，两者相除并求极限，其值存在且不为零。
然后用洛必达法则，直到当x→0时分子的极限不再为零，取n值令分母也不为0.

答楼主追问：tanx-sinx=sinx（1-cosx）/cosx ，其中sinx等价于x ，1-cosx=2sin²（x/2）等价于2·（x/2）²=x²/2
原式可化为 x³/2cosx xn

显然只有n=3时，原式极限才存在且不为0

Answer 2

　　利用等价无穷小
　　　　e^x - 1 ~ x，1 - cosx ~ (x^2)/2 (x→0)，
及极限
　　　　lim(x→0)e^sinx = 1，lim(x→0)cosx = 1，lim(x→0)sinx/x = 1，
可得
　　 lim(x→0)(e^tanx - e^sinx)/(x^n)
　　= lim(x→0)(e^sinx)[e^(tanx - sinx) - 1]/(x^n)
　　= lim(x→0)(e^sinx)*lim(x→0)[e^(tanx - sinx) - 1]/(x^n)
　　= lim(x→0)(e^sinx)*lim(x→0)(tanx - sinx)/(x^n)
　　= lim(x→0)(e^sinx)*lim(x→0)(sinx/x)*lim(x→0)(1/cosx)*lim(x→0)(1 - cosx)/[x^(n-1)]
　　= lim(x→0)(e^sinx)*lim(x→0)(sinx/x)*lim(x→0)(1/cosx)*lim(x→0)[(x^2)/2]/[x^(n-1)]，
前三个极限都是1，要使
　　　　e^tanx - e^sinx 与 x^n
是同阶无穷小，只需最后一个极限要等于非零常数，因此只能取 n = 3。

Answer 3

e^tanx-e^sinx=e^sinx(e^(tanx-sinx)-1)~e^(tanx-sinx)-1~tanx-sinx~1/2x^3

追问

为什么tanx–sinx=1/cosx