Question

已知函数y=f(x)的定义域为R，且对任意a,b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)，且当x＞0时，f(x)＜0恒成立，f(3)=-3

已知函数y=f(x)的定义域为R，且对任意a,b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)，且当x＞0时，f(x)＜0恒成立，f(3)=-3.试求函数y=f(x)在［m,n］（m,n∈Z）上的值域
（3）解 由于y=f(x)是R上的单调递减函数，
∴y=f（x）在［m，n］上也是减函数，故f(x)在［m，n］上的最大值f(x)max=f(m),最小值f(x)min=f(n).
由于【f(n)=f(1+(n-1))=f(1)+f(n-1)=…=nf(1)】,同理f(m)=mf(1).
又f(3)=3f(1)=-3,∴f(1)=-1,∴f(m)=-m, f(n)=-n.
∴函数y=f(x)在［m,n］上的值域为［-n,-m］.

【f(n)=f(1+(n-1))=f(1)+f(n-1)=…=nf(1)】这里是怎么算的

Answer 1

【f(n)=f(1+(n-1))
=f(1)+f(n-1)
=f(1)+f(1+n-2)
=f(1)+f(1)+f(n-2)
=f(1)+f(1)+f(1)+f(n-3)
=........…
=(n-1)f(1)+f(1)
=nf(1)

Answer 2

f(a+b)=f(a)+f(b)

f(n)=f(1+(n-1))=f(1)+f(n-1)

以此类推，带入上式
f(n-1)=f(1+(n-2))=f(1)+f(n-2)

f(n-2)=f(1+(n-3))=f(1)+f(n-3)

……
f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)

所以f(n)=f(1+(n-1))=f(1)+f(n-1)=…=nf(1)