Question

高数问题，高阶导数，部分

如图，请解释一下具体过程，包括辅助函数构建以及最后一步，为什么存在一个辅助函数的二阶导数为零可以推出k值？即左式=右式？

Answer 1

1. 如何推导：  第一次罗尔定理，因为θ（a）=θ（c）=θ（b）=0

                         所以（a，c）（c，b）间分别存在a1与a2，使得θ′（a1）=0，θ′（a2）=0

                    第二次罗尔定理，因为θ′（a1）=θ′（a2）=0，所以（a1，a2）间存在β，使得

                         θ″（β）=0

              而 θ（x）=(b-x)f(a)+(x-a)f(b)+(a-b)f(x)-k(a-b)(b-x)(a-x)，两次求导后，

                             θ″（x）=（a-b）f″（x）-2k（a-b） 令x=β

              于是 存在θ″（β）=(a-b)f″(β)-2k(a-b)=0,得f″(β)=2k

　　2。如何构造：

　　这一题的辅助函数构造比较巧妙，但也并不是难以企及。

　　拿到题目后看到等式右边，大概清楚需要构造函数，并利用两次中值定理，但具体是罗尔还是拉格朗日或是其他暂不清楚。

      左边式子是比较有特点的，第一反应是将两边同乘(a-b)(b-c)(a-c)

同乘后当然就想对左边式子构造函数，依次把abc当做未知数，发现总会有一个的函数值不为0，这样就会想要把右边也移动过来。

     只能说是靠经验和观察。

Answer 2

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