Question

复变函数问题

f（z）=e的z次方在z=0处解析吗?

Answer 1

设z=x+iy
f(z)=e^z=e^(x+iy)=e^x·e^(iy)=e^xcosy+ie^xsiny
Re[f(z)]=e^xcosy,Im[f(z)]=e^xsiny
令u(x,y)=e^xcosy,v(x,y)=e^xsiny
du/dx=e^xcosy
du/dy=-e^xsiny
dv/dx=e^xsiny
dv/dy=e^xcosy
由du/dx=dv/dy得e^xcosy=e^xcosy，可知该方程对于x,y∈R都成立
由du/dy=-dv/dx得-e^xsiny=-e^xsiny，可知该方程对于x,y∈R都成立
即对于任意的z∈C,f(z)=e^z都满足柯西黎曼条件
所以f(z)=e^z在C上处处可导，故在C上处处解析
特别地，f(z)=e^z在z=0处解析.