Question

拜托给我解释一道高中数学题

若函数f(x)=x^3+ax^2+bx+c 有极值点x1,x2 且 f(x1)=x1<x2 ,则关于x的方程3(f(x))^2 + 2af(x) +b =0的不同实数根

Answer 1

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追问

这种方法有点看不懂，可不可以教我画图法？

追答

图形可以看出，f（x）＝x1的解就是y=f（x）的图像与y=x1（直线）的交点的横坐标，图中有两个交点，也就意味着方程有两个根；从图中也可以看出，f（x）=x2只有一个根

Answer 2

因为函数 f(x)=x³+ax²+bx+c 有两个极值点 x1<x2，极大值 f(x1)=x1、极小值 f(x2)<f(x1)；所以 f'(x)=3x²+2ax+b=0 有实数解 x1、x2；
将 f'(x)=0 的方程中自变量 x 换成 f(x) 就是待求解的方程，可因式分解为 [f(x)-x1]*[f(x)x2]=0，相应未知代数式的根为 f(x)=x1 和 f(x)=x2；
因为 f(x1)=x1 是 f(x) 的极大值，所以一元三次方程 f(x)-x1=0 有 2 个不同实根（其中 x=x1 是 2 重根）；因为极小值 f(x2)<f(x1)=x1<x2，所以 f(x)-x2 的两个极值点均为负（f(x1)-x2<0，f(x2)-x2<0），故三次函数 f(x)-x2 仅有一个零点，即所对应方程 f(x)=x2 仅有 1 个根；
综上，方程 3[f(x)]² + 2af(x) +b =0 总共有 3个不同实根，其中 x=x1 是 2 重根；

Answer 3

啥叫 f(x1)=x1<x2