Question

高二数学椭圆问题

如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个顶点为A（0，根号2），且离心率等于√3/2，过点M（0,2）的直线L与椭圆相交于不同两点P,Q，点N在线段PQ上
1）求椭圆的标准方程
2）设PM/PN=MQ/NQ=λ,求λ的范围

Answer 1

分析：
（Ⅰ）设椭圆的标准方程为x²/a²+y²/b²=1(a＞b＞0)，由题意知b²=2，a²=8，所以椭圆的标准方程为x²/8+y²/2=1．
（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），N（x0，y0），若直线l与y轴重合，则｜PM｜/｜PN｜=｜MQ｜/｜NQ｜ =﹙2-√2﹚/﹙√2-y0﹚=﹙2+√2﹚/﹙√2+y0﹚ ，得y0=1，得λ=√2 ．若直线l与y轴不重合，则设直线l的方程为y=kx+2，与椭圆方程联立消去y得（1+4k²）x²+16kx+8=0，得x1+x2=-16k/﹙1+4k²﹚①，x1x2=8/﹙1+4k²﹚② ．由此可知λ的取值范围．

解答：
解：

（Ⅰ）设椭圆的标准方程为x²/a²+y²/b²=1(a＞b＞0)
因为它的一个顶点为A（0，√2），
所以b²=2，
由离心率等于√3/2，
得 √[﹙a²-b²﹚/a²]=√3/2，
解得a²=8，
所以椭圆的标准方程为x²/8+y²/2=1

（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），N（x0，y0），
若直线l与y轴重合，
则｜PM｜/｜PN｜=｜MQ｜/｜NQ｜=﹙2-√2﹚/﹙√2-y0﹚=﹙2+√2﹚/﹙√2+y0﹚，
得y0=1，得λ= 2 .
若直线l与y轴不重合，
则设直线l的方程为y=kx+2，与椭圆方程联立消去y得（1+4k²）x²+16kx+8=0，
得x1+x2=-16k/﹙1+4k²﹚①，x1x2=8/﹙1+4k²﹚②，
由｜PM｜/｜PN｜=｜MQ｜/｜NQ｜得﹙0-x1﹚/﹙x1-x0﹚=﹙0-x2﹚/﹙x0-x2﹚ ，
整理得2x1x2=x0（x1+x2），将①②代入得x0=-1/k，又点N（x0，y0）在直线l上，
所以y0=k×(-1/k )+2=1，于是有1＜y1＜√2 ，
因此λ=﹙2-y1﹚/﹙y1-1﹚=﹙1-y1+1﹚/﹙y1-1﹚=[1/﹙y1-1﹚]-1，
由1＜y1＜√2，得1/（y1-1﹚＞√2+1，
所以λ＞√2 ，综上所述，有λ≥√2

点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答．

有疑问可以追问哦，。

Answer 2