Question

摸球的概率问题

袋子中有两个球,每个颜色或红或白.
从中摸出一个球,是红色,那么请问袋子中两个都是红球的概率是多少?
如果摸两次,都是红球,那么袋子中两个都是红球的概率又是多少?(摸两次是指摸完一个放回袋子,搅浑再摸)
请详细说明推理过程,谢谢.

Answer 1

这应该属于条件概率问题。首先明确要分析的事件类型。
　　两个球分别记作：A、B；两种颜色分别记作：0（白）、1（红）。则本题所涉及的事件类型有：
（1）两个球的配色结果，记作：
　　X＝｛［00］，［01］，［10］，［11］｝；
例如，［10］表示A为1（红色）、B为0（白色）。
（2）一系列放回式选取后，得出的选球序列：以摸2次球为例：
　　Y＝｛AA，AB，BA，BB｝；
例如：AB表示第1次摸出的球是A，第2次是B；
（3）一系列放回式选取后，得出的颜色序列：以摸2次球为例：
　　Z＝｛00，01，10，11｝；
例如：10表示第1次摸出的球的颜色是1（红色），第2次是0（白色）。

　　那么，你所求的概率其实就是：P（［11］｜11）——连续2次摸出1（红球）时，A、B都是1（红球）的概率。根据条件概率的公式，可知：
　　P（［11］｜11）＝P（［11］·11）／P（11）；
　　其中，组合事件［11］·11表示：两球都是红色，且颜色序列也都是红色。显然，事件［11］是事件11的真子集，所以二者的组合仍然是［11］。所以：
　　P（［11］｜11）＝P（［11］）／P（11）；——该公式可推广到任意长度的全1序列，即任意次数连续选中红球的事件。

　　在计算之前，我们要先确定：在没有摸球的情况下，即在一切都未知的情形下，每个球是某种颜色的概率。你题目中没有说明这一点，但这是解决本题必需的条件。它不但要用于计算两个球配色组合的概率，还要用于计算连续摸球后得出的某种颜色序列的概率。
　　默认情形：A、B是红或白的概率都为1／2；
记作：
　　P（［1＊］）＝P（［＊1］）＝1／2；（［1＊］表示A为红色、B不确定；）
且A、B之间相互独立；即：
　　P（［11］）＝P（［1＊］）×P（［＊1］）＝1／4；

我们得到序列11的概率就是：
　　P（11）＝P（11·AA）＋P（11·AB）＋P（11·BA）＋P（11·BB）；
后面这4个组合事件，其实就是将事件11，按照样本空间Y的内容，分了4种情形分别分析。如：11·AA，表示2次都选中A，且都是红色的概率；根条件概率性质，可知：
　　P（11·AA）＝P（11｜AA）×P（AA）；
其中，事件11｜AA表示：在2次都选中A的前提下，所得序列为11的概率。显然，当且仅当A是红球时，此事件发生。所以：
　　P（11｜AA）＝P（［1＊］）＝1／2；
而事件AA属于集合Y；很明显，集合Y中的事件是等概率事件，均为1／4。所以：
　　P（11·AA）＝（1／2）×（1／4）＝1／8；
同理，可知：
　　P（11·AB）＝P（［11］）×（1／4）＝1／16；
　　P（11·BA）＝P（［11］）×（1／4）＝1／16；
　　P（11·BB）＝P（［＊1］）×（1／4）＝1／8；
于是，我们所求概率为：
　　P（［11］｜11）
　＝P（［11］）／P（11）
　＝（1／4）／（1／8＋1／16＋1／16＋1／8）
　＝2／3；

我们可以将Y、Z集合中的序列事件推广到任意长度。设其为n，则你所说的概率就是：
　　P（［11］｜＜n＞）；＜n＞表示长度为n的全1序列，即n次选取都是红色；
观察n＝2时的情形，不难发现，事件＜n＞总可以在Y集合中分为2类：
（1）＜A＞、＜B＞：全A或全B序列；——这2类序列各有1个；
（2）＜AB＞：A、B都有的序列；——这类序列有2＾n－2个；
那么：
　　P（＜n＞｜＜A＞）＝P（［1＊］）＝1／2；记作p1；
　　P（＜n＞｜＜B＞）＝P（［＊1］）＝1／2；记作p2；
　　P（＜n＞｜＜AB＞）＝P（［11］）＝1／4；记作p3；
而对于Y中的任意序列y必有：
　　P（y）＝1／（2＾n）；
所以：
　　P（n）＝Σ｛P（＜n＞·y）｝；其中y∈Y＝｛＜A＞，＜B＞，＜AB＞｝；
　＝Σ｛P（＜n＞｜y）×P（y）｝
　＝P（y）×［p1＋p2＋（2＾n－2）×p3］
　＝（2＾n＋2）／2＾（n＋2）；
所以：
　　P（［11］｜＜n＞）
　＝P（［11］）／P（＜n＞）；
　＝2＾n／（2＾n＋2）
　＝2＾（n－1）／［2＾（n－1）＋1］；
所以，当n分别取1、2、3、4…时，所求概率分别是：1／2、2／3、4／5、8／9…

Answer 2

首先袋子中有三种可能情况：2红，1红1白，2白
摸出一个球是红色，那么2红可以，1红1白也可以，因此是1/2
摸两次也都是红球，但是是分别摸的而不是一次性摸出，因此1红1白也可以，所以和前者一样也是1/2

追问

按照你的说法,不管摸多少次,概率都是一样的?
但我觉得这个应该是不对的,我们可以从极端的情况用直觉来理解.
比如不是摸两次而是摸一亿次,每次摸出来都是红球,那么直观上几乎可以肯定,白球总是摸不到,它存在的可能性是很低的,也就是说两个都是红球的可能性很高,非常接近与1,而不是1/2.

追答

你不应该用这个方式去想，因为这样你就把问题倒过来了。
我们已经知道结论是轮流摸摸出来的是红球
而并不是说我们直接摸起两个球是红球。
如果你要这么考虑，问题应该改成
现在有1红1白，问轮流摸出两个球都是红球的概率。
要从条件出发~

可能我表述不会很清楚，但是条件才是我们解答的依据

追问

你不是没有表述清楚,而是没有看明白我的问题,或者看明白 了,但是没有思考明白.

我就问你,如果我摸一亿次都是红球,你还认为白球存在的概率有1/2吗?

追答

必须依旧会(￣▽￣") 因为只要概率在就有可能这样（即使概率低到0.5^100000000）

追问

现实中不会有人认为摸了无限次都是红球,还有白球存在的.
你的说法不符合生活实践,推理依据也很牵强,肯定是错误的.

追答

那就请便~因为我只是针对问题本身~