Question

已知函数f(x)对一切x，y属于R，都有f(x+y)=f(x)+f(y).

已知函数f(x)对一切x，y属于R，都有f(x+y)=f(x)+f(y).，f(3\1)=1,且当x＞0时，f(x)＞0
①如果f(x)+f(2+x)＜2,求x的取值范围

Answer 1

解由f(x+y)=f(x)+f(y).，
取y=0
即f(x+0)=f(x)+f(0).，
即f(x)=f(x)+f(0).，
即f（0）=f（x）-f（x）=0
由f（0）=0
即f（0)=f(x-x)=f[x+（-x）]=f（x）+f（-x）=0
即f（-x）=-f（x）
即f（x）是奇函数
下面证明函数的单调性
设x1，x2属于R，且x1＞x2
则f（x1）—f（x2）
=f（x1）+f(-x2)
=f(x1-x2)
由x1＞x2，即x1-x2＞0
又有当x＞0时，f(x)＞0
即f（x1-x2）＞0
即f（x1）＞f（x2）
即y=f（x）在R是增函数
由f(2/3)=f(1/3)+f(1/3)=2
即不等式f(x)+f(2+x)＜2,
变为f(x)+f(2+x)＜f（2/3）,
即f(x+2+x)<f(2/3)
即f(x+2+x)-f(2/3)<0
即f(x+2+x)+f(-2/3)<0
即f(x+2+x-2/3)<0
即f（2x+4/3）＜0=f（0）
即2x+4/3＜0
即x<-2/3

Answer 2

应该已经求出是增函数了吧

f(2/3)=f(1/3)+f(1/3)=2
所以f(x)+f(2+x)=f(x+2+x)<f(2/3)
所以x+2+x<2/3
x<-2/3

Answer 3

1、奇偶性
由于f(x+y)=f(x)+f(y)
令x=y=0 得出f(0)=f(0)+f(0)，推出f(0)=0
令y=-x，得出f(x-x)=f(x)+f(-x)，推出f(x)=-f(-x)，得出f(x)为奇函数
由于x>0时，f(x)>0，因此当x<0时，f(x)<0
2、单调性
令x+y>0，其中y<0，x>0，可得y的绝对值小于x。
所以f(x+y)=f(x)+f(y)=f(x)-f(-y)>0（注：有奇函数得出f(y)=-f(-y)）
因此f(x)>f(-y)，即f(x)在(0,正无穷)单调为增
同理可得f(x)在(负无穷,0)单调为增
3、由于2=f(1/3)+f(1/3)=f(2/3)
因此f(x)+f(2+x)=f(2+2x)<2=f(2/3)
由于增函数
所以2+2x<2/3
解出x<-2/3