Question

请帮我做做这道高一数学难题，谢谢！

若定义在R上的函数f(x)满足:对任意x,y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y)+1，求证：f（x）+1是奇函数。

Answer 1

令x=y=0
f(0)=f(0)+f(0)+1
f(0)=-1

令y=-x，则x+y=0
f(0)=f(x)+f(-x)+1
-1=f(x)+f(-x)+1
f(-x)+1=-f(x)-1
即f(-x)+1=-[f(x)+1]

令g(x)=f(x)+1
则g(-x)=f(-x)+1=-[f(x)+1]=-g(x)
所以g(x)是奇函数

Answer 2

证明：
令y=0 有f(x)=f(x)+f(0)+1① f(0)=-1
令y=-x 有f(0)=f(x)+f(-x)+1 ②
①②联立
f(x)+f(-x)=-2
∴f(-x)+1=-(1+f(x))
∴f(x)+1是奇函数

Answer 3

令x=y=0,得f(0+0)=f(0)+f(0)+1,f(0)=-1
令y=-x，得f(0)=f(x)+f(-x)+1
所以f(x)+f(-x)+1=-1
即：f(-x)+1=-[f(x)+1)]
所以f（x）+1是奇函数。

Answer 4

使X=Y=0
f(0)=f(0)+f(0)+1
f(0)=-1
再使X=X Y=-X
f(0)=f(x)+f(-X)+1
f（x）+1=-f（-x）+1
所以得证

Answer 5

设g(x)=f(x)+1，即需证gf为奇函数。
由题意，令x=y=0，则f(0)=2f(0)+1, => f(0)=-1；所以f(x+(-x))=f(x)+f(-x)+1，
即f(0)=f(x)+f(-x)+1=-1，=> f(-x)=-f(x)-2；
g(-x)=f(-x)+1=-f(x)-2+1=-f(x)-1=-[f(x)+1]=-g(x)，g(x)为奇函数，即f(x)+1为奇函数。