Question

关于线性代数线性方程组结构的一道题

为什么B不对呢。。。。β1和β2想减这不应该是对应其次方程组的特解吗。。。
那为什么B不对呢。。难道是不是线性相关？。。

还有一个问题，和微分方程也有关系。。
就是齐次方程的线性无关的特解相加相加是什么。。。非齐次方程特解相加相减又是什么。。

如果交叉相减呢。。。。如何证明

RT。。。越想感觉越混乱

Answer 1

B的错误是你无法判定α1与β1-β2线性无关，所以α1,β1-β2是不是基础解系很难说。举个例子：x1+x2+x3=1，取β1=(1,0,0)'，β2=(0,1,0)'，α1=(1,-1,0)'，α2=(1,0,-1)'。此时α1=β1-β2，所以α1,β1-β2不是Ax=0的基础解系。

Ax=0的解的特点：任意两个解的和或差还是解；任意一个解的倍数还是解。这两个性质结合起来就是：任意有限个非零解的线性组合还是解。如果你选择的有限个非零解线性无关，且个数是n-r(A)，则这有限个非零解就是基础解系，它们的线性组合就是通解。

Ax=b的解的特点：任意两个解的差是Ax=0的解；Ax=b的解与Ax=0的解的和还是Ax=b的解。当你知道了Ax=b的一个解α，那么Ax=b的任意一个解x与α的差x-α是Ax=0的解，就可以用Ax=0的基础解系线性表示，所以Ax=b的通解就是x=α+(Ax=0的通解)。