Question

加法和乘法交换律、结合律真的不可以改吗？（1）

Answer 1

《加法和乘法的交换律、结合律能否改一改？》（是我在实践的基础上写成的，发表在《中小学数学》2006第3期上）最基本的观点是建议把加法交换律、结合律合并为加法“顺序可变律”，即把“两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变”与“三个数相加，先把前两个数相加，再和第三个数相加，或者先把后两个数相加，再和第一个数相加，它们的和不变”两层意思合并为“几个数相加，改变加数的位置或者改变运算的顺序，和不变”；乘法也同理。理由是更开放地反映了交换律、结合律的意义，叙述更简洁、教学时更简便、应用起来更灵活。 可以看出我不敢断定是否应该这样改，不敢断定的原因是这么“老牌”的东西真的可以改、应该改、是我所能改的吗？改了会不会出现其它的问题呢？因此在文章末尾提出与同行、专家商榷。 《中小学数学》2006第7-8期发表了刘康民老师的《加法和乘法的交换律与结合律能改吗？》和张新春老师的《交换律与结合律真的需要改吗？》两篇文章，都认为是不能改或不宜改的，激起了我进一步的思考。1. 数学是自然科学，自然规律是不以人的意志而转移的。如果加法和乘法顺序可变律不符合客观事实，就没有再讨论的必要了（指的是内容，名称不合适可以另取）。加法顺序可变律包含三层意思（乘法也同理）： ①几个数相加，只改变加数的位置，和不变； “几个数”可以是两个数或两个数以上，“改变加数的位置”意思是可以任意变动加数的位置，包括交换、轮换位置及其它位置变化。 ②几个数相加，只改变运算的顺序，和不变； “改变运算的顺序”意思是可以按“从左到右”的顺序计算，也可以按“从右到左、先中间后两边、先两边后中间及其它顺序”计算。 ③几个数相加，既改变加数的位置，又改变运算的顺序，和不变。 要证明不成立，只要举出一个相反的例子，证明其中任意一点不成立就足够了，两位老师都没有做到这一点。 张新春老师举了“矩阵乘法”的例子，说“在矩阵乘法中只有结合律没有交换律”（我“中师”毕业，不懂何谓矩阵乘法），意思是“乘法顺序可变律”在一定范围内是成立的，但是学习到矩阵乘法时就不成立了，因为在矩阵乘法中，因数的位置是不可以交换的，交换了结果就变了或者不能计算了，“交换”都不可以，“改变”更不行了，所以乘法顺序可变律是不成立的。假如这个推理是正确的，那么同样可以推出，因为在矩阵乘法中不可以交换因数的位置，所以“乘法交换律”也是不成立的。总不能连乘法交换律一并取消了吧？刘老师从“基数、序数理论和计数公理”等层面有力地证明或说明了加法交换律、结合律的正确性、合理性，进而认为加法顺序可变律是加法交换律、结合律的推广，并用计数公理证明或说明了这个推广是成立的（原文为“以上推广仍用计数公理来说明，证明从略”）。“推广”即推而广之，不是“推论”，是数量上的增加、面上的扩展。这里不单单是把交换律或结合律推而广之，而是先把交换律、结合律融合在一起后，再推而广之，不但是数量上的增加、面上的扩展，更多的是意义上的拓展和变化，几乎让人怀疑，它还能称为推广吗？实际教学中，老师们是只能这么做的，先教交换律，再教结合律，接着稀里糊涂地教起了这个“推广”，（不管有没有取“顺序可变律”这个名称，道理是必须讲的，否则就解释不了或很难解释清楚类似“574＋（509＋426＋91）=（574＋426）＋（509＋91）”这样的题目），最后在师生头脑中参与思考的只需这个“推广”足矣，因为它完全包含了“交换律、结合律”的意义。交换律、结合律失去了存在的理由，却成为“考倒”学生的武器，如“ 两位老师没有从根本上证明加法或乘法顺序可变律是不成立的，而且从正、反两方面证明或说明了它们本身没有问题、是成立的。2. ①“顺序可变律”表达、并包含了“交换律、结合律”的意义 “交换加数的位置”属于“改变加数位置”的一种情况，“先把前两个数相加，再和第三个数相加，或者先把后两个数相加，再和第一个数相加”属于“改变运算顺序”的一种情况，乘法也同理。 ②“顺序可变律”发挥了“交换律、结合律”的作用 学习交换律、结合律的目的主要是培养学生发现、应用规律的能力，使一些计算得到简便，当然也是后续学习的基础。学习顺序可变律同样可以实现这些目的，且更有效。应用“交换律、结合律”简便的题目，都可以用“顺序可变律”来解释，而且更方便、更贴切。 ③用“顺序可变律”代替“交换律、结合律”不影响后续学习 把范围扩大到有理数、代数式的加法和乘法，仍然找不到不能适用“顺序可变律”或相矛盾的例子。假如扩大到矩阵乘法，按照张老师的说法是不能适用的。处理方法和原来处理乘法交换律的方法应该是一样的，难道非得在矩阵乘法中应用乘法交换律吗？